Question

Se considera triunghiul dreptunghic isoscel cu ipotenuza BC=8 radical din 2. Aratati ca raza cercului inscris este egala cu 4(2-radical din 2)

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

raza cercului inscris se află după formula, r=A/p, unde r este raza cercului înscris în triunghi, A este aria triunghiului iar p este semiperimetrul triunghiului.

Având triunghi dreptunghic isoscel cu ipotenuza 8√2, ⇒ catetele sunt egale, ⇒ a=b. Din T.Pitagora, ⇒ a²+a²=(8√2)², ⇒2·a²=8²·2, ⇒ a²=8², ⇒ a=8=AB=AC.

Aria, A=(1/2)·AB·AC=(1/2)·AB²=(1/2)·a²=(1/2)·8²=(1/2)·64=32.

Semiperimetrul, p=(AB+AC+BC)/2=(8 + 8 + 8√2)/2=8·(1+1+√2)/2=4·(2+√2).

Acum r=32/[4·(2+√2)]=8/(2+√2)=[8·(2-√2)]/[(2+√2)(2-√2)]=[8·(2-√2)]/[2²-(√2)²]=[8·(2-√2)]/(4-2)=[8·(2-√2)]/2=4·(2-√2).

Deci r =4·(2-√2).