Question

Se considera unghiul ascutit xOy. Pe (Ox se ia punctul D, astfel incat triunghiul OBD este isoscel de baza [BD]. Fie A apartine (OB) si  C apartine (OD), astfel incat  [AB] congruent cu [CD]. Demostrati ca:
a) triunghiul OAC este isoscel
b)triunghiul BOC congruent cu triunghiul DOA
C) [OT este bisectoarea unghiului xOy, unde {T} = AD intersectat cu BC

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a) demonstrăm că OA ≡ OC

ΔOBD isoscel cu baza BD ⇔ OB ≡ OD

cum AB ≡ CD ⇒ OB - AB = OD - CD

⇒ OA ≡ OC

⇒ ΔOAC isoscel cu baza AC

b) demonstrăm prin cazul de congruență L.U.L.

notăm unghiul xOy cu α, pentru ușurința scrierii

OB ≡ OD, OC ≡ OA, α unghi comun ⇒ (L.U.L.) ΔBOC ≡ ΔDOA

c) demonstrăm că ΔOAT ≡ ΔOCT

OA ≡ OC și OT latură comună

mai avem nevoie de congruență pentru a treia latură, AT și CT

demonstrăm că ΔABT ≡ ΔCDT

AB ≡ CD (1)

ΔBOC ≡ ΔDOA ⇒ ∡OBC ≡ ∡ODA ⇔ ∡ABT ≡ ∡CDT (2)

ΔBOC ≡ ΔDOA ⇒ ∡BCO ≡ ∡DAO ⇒ suplementele lor sunt congrunte

⇒ ∡TAB ≡ ∡TCD (3)

(1), (2), (3) ⇒ (U.L.U.) ΔABT ≡ ΔCDT ⇒ AT ≡ CT

⇒ (L.L.L.) ΔOAT ≡ ΔOCT

⇒ ∡AOT ≡ ∡ COT ⇔ OT bisectoarea unghiului α (∡xOy)