Question

Se considera x1 si x2 solutiile ecuatiei x^2-2(m-1)x+2m^2-2m=0
Determinati numarul real "m" pentru care x1/x2+x2/x1=4.

Answer 1

x1²+x2²=4x1 x2
(x1+x2)²-2x1 x2=4x1 x2
(x+x2)²=6x1 x2

4(m-1)²=2m²-2m
4m²-8m+4=6(2m²-2m)
4m²-8m+4=12m²-12m
0=8m²-4m-4
8m²-4m-4=0
2m²-m-1=0

m1,2=(1+/-√(1+8))/4
m1,2=(1+/-3)/4
m1=-1/2
m2=1
m∈{-1/2;1}

Answer 2

[tex]\it x^2-2(m-1)x +2m^2-2m=0\Leftrightarrow x^2-2(m-1)x +2m(m-1)=0\\ \\ \\ \dfrac{x_1}{x_2} +\dfrac{x_2}{x_1} =4 \Rightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} =\dfrac{4}{1}|_{\cdot\frac{1}{2}} \Rightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{2x_1x_2} =\dfrac{2}{1} \stackrel{derivare}{\Longrightarrow} \\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2+2x_1x_2}{2x_1x_2} = \dfrac{2+1}{1} \Rightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2}{2x_1x_2} = 3 \ \ \ \ (1)[/tex]

Cu relațiile lui Viète, obținem:


[tex]\it x_1+x_2 = 2(m-1) \ \ \ \ \ (2) \\ \\ x_1x_2=2m(m-1) \ \ \ \ \ \ (3)[/tex]

Folosind relațiile (2) și (3), relația (1) devine:

[tex]\it \dfrac{4(m-1)^2}{4m(m-1)} = 3 \Rightarrow \dfrac{m-1}{m} =3 \Rightarrow m-1=3m \Rightarrow -1= 3m-m \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow -1 = 2m \Rightarrow 2m=-1 \Rightarrow m= -\dfrac{1}{2}[/tex]

Observație :

   Pentru m = 1, ecuația dată se reduce la x² = 0 ⇒ x = 0, iar relația din enunț

 dintre rădăcinile ecuației nu mai este valabilă. Deci, avem că m≠1 ⇒ m-1 ≠ 0,

 ceea ce  permite simplificare, spre final, cu m - 1.