Question

Se da numarul N=1+3*1+3*2+3*3+.............+3†2014+3*2015
a)Aratati ca numarul N este divizibil cu patru
b)Aflati restul impartiri numarului N la 11*2

Answer 1

Răspuns

Explicație pas cu pas:

Ideea din spatele rezolvarii acestor tip de exercitii , este sa grupezi termeni convenabil .

a) N= 1+3+3²+3³+....+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵

In acest caz cel mai convenabil ar fi sa grupam termenii cate doi si apoi sa dam factor comun .( acest lucru este posibil ,deoarece avem in total 2016 termeni).

N=(1+3)+(3²+3³)+....+(3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵)

N=(1+3)+3²(1+3)+...+3²⁰¹⁴(1+3)

N=(1+3)(1+3²+...+3²⁰¹⁴)

N=4(1+3²+...+3²⁰¹⁴)

Deci N este divizibil cu 4.

b)Procedam asemanator ca la punctul a),doar ca de data asta grupam termenii cate 5. (primul termen va trebui sa il excludem ,ca sa ramana doar 2015 temeni.)

N=1+(3+3²+3³+3⁴+3⁵)+....+(3²⁰¹⁰+3²⁰¹¹+3²⁰¹²+3²⁰¹³+3²⁰¹⁴+3²⁰¹⁵)

N=1+3(1+3+3²+3³+3⁴)+...+3²⁰¹⁰(1+3+3²+3³+3⁴)

N=1+(1+3+3²+3³+3⁴)(3+3⁶+...+3²⁰¹⁰)

N=1+(1+3+9+27+81)(3+3⁶+...+3²⁰¹⁰)

N=1+121(3+3⁶+...+3²⁰¹⁰)

N=1+ 11²(3+3⁶+...+3²⁰¹⁰)

Prin urmare , restul impartirii lui N la 11² este 1.