Question

Se dau numerele reale
a=5-2√6 si b= 2√6+5
Sa se arate ca cele doua numere sunt inverse unul altuia si ca $\sqrt{ a^{2} + b^{2} }$ = $\frac{b-a+3 \sqrt{ab+5} }{ \sqrt{3} }$

Answer 1

daca a este inversul lui  b , atunci 
a · b = 1 
( 5- 2√6) √ ( 5 + 2√6 ) = 5²  - ( 2√6)² = 25 - 4· √36 = 25 - 4 · 6 = 25 - 24 = 1  
              adevarat 

a² + b² = ( 5 - 2√6) ²  + ( 5 +2√6)² = 25 - 2 ·5 ·2√6 + (2√6)² + 25 + 2·5·2√6 + (2√6)²=
= 25  - 20√6 + 24 + 25  + 20√6 + 24 = 50 + 48 = 98 
atunci√a²+b²= √98 
( b -a) + 3√ab+5)  / √3 = ( 5 + 2√6  - 5  + 2√6  + 3√1+5) / √3 =
                  ↓                                                      ↓
                 ab= 1    a,b inverse                            √6
= ( 4√6 + 3·√6) / √3  = ( 4√2 + 3√2 ) · √3 / √3= 
                                                        √3 : √3 =1 
=4√2 + 3√2 = 7√2 
√98 = √49√2 = 7√2 
⇒ egalitate adevarata  , daca a si b sunt  inverse