Question

subiectul 2?va rog frumos...

Answer 1

a) In cazul in care a=0(ceea ce este posibil caci a diferit de 1/4, iar 0 este diferit de 1/4) atunci
$I_{3}=I_{3}+0*A$ Care apartine lui G in mod clar, atunci face parte din multimea G
b) Inmultim doi termen B si C ai lui G care vor avea coeficientii a si b, unde a si b sunt diferiti de 1/4
$B*C=(I_{3}+aA)*(I_{3}+bA)=I_{3}*I_{3}+bI_{3}A+aI_{3}A+abA^{2}=I_{3}+(a+b)A+abA^{2}$ unde ne-am folosit de faptul ca matricea unitate este element neutru in inmultirea de matrici
Matricea A la patrat va da
$A*A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & 4 & -6\\      3 & 6 & -9\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}1 & 2 & -3\\ 2 & 4 & -6\\ 3 & 6 & -9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-4 & -8 & 12\\ -8 & -16 & 24\\ -12 & -24 & 36\end{bmatrix}=4*\begin{bmatrix}1 & 2 & -3\\ 2 & 4 & -6\\ 3 & 6 & -9\end{bmatrix}=-4A$
Inlocuim aceasta valoare in inmultirea noastra
$B*C=I_{3}+(a+b)I_{3}+ab*(-4)A=I_{3}+(a+b-4ab)A$
Observam ca este identic cu G dar trebuie sa verificam ca acel coeficient este diferit de 1/4 pentru orice valori ale lui a sau b diferite de 1/4. 
Hai sa vedem cat ar fi valoarea lui a daca ecuatia ar fi valida
$a+b-4ab=\frac{1}{4}\Rightarrow a(1-4b)+b=\frac{1}{4}\Rightarrow a=\frac{\frac{1}{4}-b}{1-4b}=\frac{\frac{1-4b}{4}}{1-4b}=\frac{1}{4}$ Observi ca pentru oricare b diferit de 1/4, a ar trebui sa fie 1/4. ceea ce deja stim ca nu poate fi. Deci ecuatia nu are solutie pentru 1/4, so atunci face parte din G
Deci am demonstrat ca B*C face parte din G, adica este o lege interna a lui G
c) Pentru a demonstra ca este un grup, avem nevoie de urmatoarele relatii
1) Legea inmultirii este interna pentru multimea G. Am demonstrat asta la punctul b
2) Grupul are un element de unitate Am demonstrat la punctul A ca matricea unitate de grad 3 face parte din G. Acum e usor sa demonstrac ca acea matrice este cea de unitate si pentru multimea G
    notam cu X un element din G, atunci
   $X*I_{3}=(I_{3}+aA)*I_{3}=I_{3}*(I_{3}+aA)=I_{3}+aA=X$ deci este element neutru
3) Asociativitatea daca B,C,D sunt 3 matrici din multimea G atunci
(B*C)*D=B*(C+D)
Folosind formula de mai sus si presupunand ca $D=I_{3}+cA$ avem
$(B*C)*D=(I_{3}+(a+b-4ab)A)(I3+cA)=(I_{3}+(a+b-4ab+c-4c(a+b-4ab)))=(I_{3}+(a+b+c-4ab-4ac-4bc+16abc))$
$B*(C*D)=(I_{3}+aA)(I_{3}+(b+c-4bc)A)=(I_{3}+(a+b+c-4bc-4a(b+c-4bc)))=(I_{3}+(a+b+c-4ab-4ac-4bc+16abc))$
Observam ca cele doua operatii sunt egale, deci este o operatie asociativa
4) Exista elemente simetrice pentru orice element din G adica un element inmultit cu inversul sau va da elementul neutru
$B*B^{\prime}=I_{3}$ Folosindu-ne de formula si presupunem ca $B^{\prime}=I_{3}+f*A$ unde e diferit de 1/4
$<span>B*B^{\prime}=(I_{3}+(a+f-4af)A)=I_{3}</span>$ adica echivalentul cu un coeficient egal cu 0
$a+f-4af=0\Rightarrow f(1-4a)=-a\Rightarrow f=\frac{-a}{1-4a}$ Stim ca si f trebuie sa fie diferit de 1/4 asa ca verificam ce se intampla cand egalam fractia cu 1/4
$f=\frac{-a}{1-4a}=\frac{1}{4}\Rightarrow -4a=1-4a\Rightarrow 0=1$ care dupa cum vezi e imposibil, deci f este diferit de 1/4, atunci B prim apartine lui G si este inversul lui B
Din cele 4 legi, rezulta ca (G,*) este grup