Question

$Determinati~formula ~termenului ~general ~al~sirului~( x_{n} ) x_{n \geq 1} , \\ daca~x_{1}, x_{n+1} =x_{n}+2n,n \geq 1.$

Answer 1

Am demonstrat-o prin inductie completa, din primii trei termeni se observa forma generala si din xn se deduce x(n+1).

Answer 2

$\it x_1 = 1,\ \ x_{n+1} = x_n+2n$

Determinăm câțiva termeni cu relația din enunț și obținem șirul:

1,  3,  7,  13,  21, 31,  43,  ...

1 = 1² - 0 

3 = 2² - 1

7 = 3² - 2

13 = 4²-3

21 = 5²-4

31= 6²- 5

E suficient, pentru a intui că :


 $\it x_n = n^2-(n-1) \Longrightarrow x_n = n^2-n+1$

Arătăm că această egalitate este echivalentă cu relația de recurență.