Question

$Sa~se~determine~ a~ si~ b ~(intregi)~daca~1+ \sqrt{3} ~verifica~ \\ ecuatia~ax^2+bx+12=0. \\ REZOLVARE: \\ delta=0=\ \textgreater \ b=4 \sqrt{3a} \\ 1+ \sqrt{3} =- \frac{4 \sqrt{3a} }{2a} =- \frac{2 \sqrt{3a} }{a} \\ a+a \sqrt{3} +2 \sqrt{3a} =0 \\ \sqrt{3} (a+2 \sqrt{3} )=-a \\ \sqrt{3} =- \frac{a}{a+ 2\sqrt{3} } \\ Cum~a \neq 0 =\ \textgreater \ a=-2 \sqrt{3} \\ b= 4 \sqrt{-6 \sqrt{3} } \\ Nu~stiu~la~ce~gresesc! HELP!$

Answer 1

Atunci cand o valoare este radacina unei ecuatii de gradul 2, nu inseamna ca este si unica radacina. Tu ai facut aceasta presupunere cand ai scris ca delta este 0. Faptul ca este radacina inseamna ca daca inlocuiesti x cu valoarea respectiva, ecuatia va da valoarea 0. Avem deci
$a(1+\sqrt{3})^{2}+b(1+\sqrt{3})+12=0\Rightarrow a(1+3+2\sqrt{3})+b(1+\sqrt{3})+12=0\Rightarrow 4a+b+\sqrt{3}(2a+b)+12=0$
Dar noi stim ca a si b sunt numere intregi. Deci nu are cum sa reiasa din restul termenilor in afara de cel irational(radical din 3) tot un numar irational. 3a+b+12 este tot un numar intreg. Atunci coeficientul lui radical din 3 trebuie sa fie 0, adica
$2a+b=0\Rightarrow b=-2a$
atunci ecuatia devine
$4a-2a+12=0\Rightarrow a=-6$ deci inseamna ca
$b=-2a=12$

Answer 2

$\\ Avem ecuatia: ax^2+bx+12 = 0 \\ \\ Este o proprietate, daca avem o solutie m+\sqrt n, neaparat vom avea\\ ca solutie si conjugatul ei, adica m-\sqrt n. \\ \\ Astfel, daca 1+\sqrt3 este solutie, inseamna ca si 1-\sqrt3 este solutie. \\ \\ Consideram f(x) =ax^2+bx+12. \\ Facem sistem:$

$\left\{ \begin{array}{c} f(1+\sqrt3) = 0 \\ f(1-\sqrt 3) = 0 \end{array} \right \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} a(1+\sqrt3)^2+b(1+\sqrt3)+12 = 0 \\ a(1-\sqrt3)^2+b(1-\sqrt3)+12 = 0\end{array} \right \Rightarrow$

$\left\{ \begin{array}{c} a(1+2\sqrt3+3)+b(1+\sqrt3)+12 = 0 \\ a(1-2\sqrt3+3)+b(1-\sqrt3)+12 = 0\end{array} \right| - adunam cele doua ecuatii: \\ \\ \Rightarrow 2a+0+6a+2b+0+24 = 0 \Rightarrow 8a+2b = -24 \Rightarrow 4a+b = -12 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow b = -12-4a \\ Inlocuim in una din ecuatii: \\ a(4-2\sqrt3) + (-12-4a)(1-\sqrt3)+12 = 0 \Rightarrow\\ \Rightarrow a(4-2\sqrt3)-12+12\sqrt3-4a+4\sqrt3a+12 = 0 \Rightarrow$

$\Rightarrow a\Big(4-2\sqrt3-4+4\sqrt3\Big)+12\sqrt3 = 0 \Rightarrow a\cdot(2\sqrt3) = -12\sqrt3 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow a = \dfrac{-12\sqrt3}{2\sqrt3} \Rightarrow \boxed{a = -6} \\ \\ 4a+b=-12 \Rightarrow -24+b = -12\Rightarrow \boxed{b = 12}$