Question

Triunghiul ABC are AB=8 cm , AC=8√2cm si BC =8√3 cm . In exteriorul planului ( ABC) este situat punctul M astfel incat distantele de la M la varfurile triunghiului sa fie egale cu 8 cm . Aflati :
a) distanta de la punctul M la planul (ABC)
b) distantele de la punctul M la dreptele AB si AC
c) masura unghiului diedru format de planele (MAC) si (ABC)

Answer 1

a) se observa ca BC²=AB²+AC²⇒(Rec Teo Pitagora) ABC dreptunghic in A
 (8√3)²=8²+(8√2)²

MA=MB=MC⇒M∈d, unde d⊥(ABC), d∩(ABC)=O, centrul cercului circumscris .pt  ca  (OA=OB=OC, OM=OM=OM  caz de congr. CC⇒ΔMOC≡ΔMOB≡ΔMOA⇒MA=MAB=MC)

⇒d (M, (ABC))=MO
 MO=√MA²-AO²= (√(MA²-BO²0=√(MA²-CO²))
MA=8 , ipoteza
AO=BO=CO= 8√3/2 ( razxa cerc circumscris tr dr =ipotenuza /2)=4√3

MO= √(8²-(4√3)²)=4
deci distantra (M, (ABC))=MO=4


b) MO⊥(ABC) (1)
Fie ON⊥AB, N∈AB si OP⊥AC, P∈AC (2)
ON⊂(ABC)  (3)

din (1) (2) si (3)⇒(T3p) ON⊥AB si OP⊥AC⇔d (M, AB) =MN si d (M, AC)=MP

ON si OP l.m ON=4√2, OP=4

MN=√(MO²+ON²)= √(8²+(4√3)²)=4√7=d (M, AB)
si

MP=√(MO²+OP²)=√(8²+4²)=4√5


c)
(MAC)∩(ABC)=AC
MP⊥AC ( punctul b)).MP⊂(MAC)
OP⊥AC ( punctul b)), OP⊂(ABC)
din cele 3 de mai sus⇒m∡((MAC), (ABC))=m∡(MP, OP)=m∡(MPO)

MO=4√3 OP=4 MP=8
cu orice functie trigonometrica  sa zicem cos (MPO)=4/8=1/2⇒m∡(MPO)=60°