Question

Un ciclu format din două izocore de volume
V1 şi V2 = $e^{2}$V1 (e este baza logaritmilor
naturali) şi două izoterme de temperaturi T1 =
400 K şi T2 =
300 K, este parcurs de un gaz ideal a cărui căldură
molară la volum constant este $C_{v}$ = (5/2)R, unde R este constanta gazelor ideale. Randamentul unei
maşini termice care funcţionează după acest ciclu este:

a.2/13            b.5/17              c.8/21          d.4/13          e.2/21                  f.4/21

Answer 1

M-am tot gandit la problema asta si pana la urma, desi nu sunt sigur, am ajuns la concluzia ca varianta corecta de raspuns ar fi f.4/21. Uite cum m-am gandit eu ca s-ar rezolva.

Inteleg ca volumul V2 este produsul dintre volumul V1 si patratul lui e, adica V2 = e*eV1.
Cu semnul "*" notez inmultirea.
Cu niu notez numarul de kmoli de gaz.

Randamentul unui motor termic este dat de relatia: eta = 1 - |Q2|/Q1, unde Q2 reprezinta caldura cedata de motor sursei reci(si se ia in calcul in modul), iar Q1 reprezinta caldura primita de motor de la sursa calda.
Deci sa vedem mai intai in care transformari gazul ideal cedeaza caldura si in care primeste caldura.

Transformarea izocora 12.
Gazul are in starea 1 volumul V1 si temperatura T1 = 400 K. Deoarece T2 = 300 K,  deci T2 < T1, rezulta ca gazul cedeaza caldura Q12. Lucrul mecanic efectuat in aceasta transformare este 0(transformarea este izocora, deci Delta V = 0, de unde rezulta L12 = 0). Asadar,  aceasta caldura cedata duce, in conditiile in care L12 = 0, la scaderea energiei interne a gazului(conform principiului intai al termodinamicii Q = Delta U + L).
Deci Q12 = niu*Cv*(T2 - T1).                  (1)

Transformarea izoterma 23.
Gazul are temperatura T2 = 300 K in aceasta transformare. In starea 2 volumul este V1. iar in starea 3 volumul este V2 = e*eV1. Deoarece e este un numar supraunitar, e la patrat este supraunitar, deci V2 este mai mare decat V1, adica gazul realizeaza o destindere izoterma.  Asta inseamna ca gazul va ceda sursei reci  in aceasta transformare caldura Q23, primind  lucrul mecanic L23. Pentru aceasta transformare variatia energiei interne este 0(transformarea este izoterma).
Deci Q23 = niu*R*T2*ln(V2/V1)                      (2)

Transformarea izocora 34.
In acest proces gazul ajunge de la temperatura T3 = T2 = 300 K in starea 3 la temperatura T4 = T1 = 400 K in starea 4. Crescand temperatura, gazul se incalzeste, deci va primi caldura Q23. Deoarece L34 = 0(proces izocor), rezulta ca aceasta caldura este utilizata la cresterea energiei interne a gazului.
Deci Q34 = niu*Cv*(T1 - T2).                            (3)

Transformarea izoterma 41.
In cadrul acestei transformari gazul are temperatura T1 = 400 K atat in starea 4 cat si in starea 1. Volumul in starea 4 este V2 = e*eV1, iar in starea 1 este mai mic, adica V1. Deci gazul este comprimat izoterm si absoarbe  caldura Q41 de la sursa calda cu temperatura T1, efectuand lucrul mecanic L41. In aceasta transformare variatia energiei interne este 0(transformarea este izoterma).
Deci: Q41 = niu*R*T1*ln(V1/V2).                    (4)

Asadar gazul cedeaza caldura in transformarile 12 si 23 si primeste caldura in transformarile 34 si 41.

Tinand cont de relatiile (1), (2), (3) si (4), avem pentru caldurile din expresia randamentului termic:

Q2 = Q12 + Q23 si Q1 = Q34 + Q41.
Deci:  |Q2| = niu*Cv*(T1 - T2) + niu*R*T2*ln(V2/V1).
Am luat valorile pozitive pentru diferenta de temperaturi si pentru logaritmul natural din raportul volumelor deoarece Q2 este in valoare absoluta, adica in modul).

Q1 = Q34 + Q41= niu*Cv*(T1 - T2) + niu*R*T1*ln(V2/V1).

Asadar, eta =1 - [niu*Cv*(T1 - T2) + niu*R*T2*ln(V2/V1)] / [niu*Cv*(T1 - T2) + niu*R*T1*ln(V2/V1)]                                (5)

Simplificam cu niu in relatia (5), tinem cont ca ln(V2/V1) = ln(e*eV1/V1) = ln(e*e) = 2*ln e = 2 si mai tinem cont ca Cv = 5R/2. Relatia (5) va deveni:

eta = 1 - [5R(T1 - T2)/2 + 2*R*T2] / [2*R*T1 + 5R(T1 - T2)/2]                        (6)

Simplificam cu R in relatia (6), aducem la numitor comun(deoarece avem 5R/2) atat la numarator cat si la numitor,  si apoi efectuam calculele.

eta = 1 - [5(T1 - T2) + 4T2] / [4T1 + 5(T1 - T2)] = 1 - (5T1 - 5T2 + 4T2) / (4T1 + 5T1 - 5T2) = 1 - (5T1 - T2) / (9T1 - 5T2) = (9T1 - 5T2 - 5T1 + T2) / (9T1 - 5T2) = (4T1 - 4T2) / (9T1 - 5T2) = 4(T1 - T2) / (9T1 - 5T2).

Deci randamentul motorului termic este: eta = 4(T1 - T2) / (9T1 - 5T2).

Aplicatie Numerica A.N.: eta =  4(400 - 300) / (9*400 - 5*300) = 400/2100 = 4/21.

Asta este parerea mea. Dupa cum am spus, nu sunt sigur ca e corect. Ar fi bine sa mai vezi si alte pareri legate de rezolvare.