Question

URGENT 90 de puncte !! calculati urmatoarele aranjamente si combinari ​

Answer 1

Răspuns:

a) 120

b) 2

c) 1

d) n ∈ {3, 4, 5}

Explicație pas cu pas:

Să ne amintim formulele:  $A_{n} ^{k} = \frac{n!}{(n-k)!}$    $C_{n} ^{k} = \frac{n!}{k!*(n-k)!}$

a)

$A_{7} ^{3} - 6C_{6} ^{4} = \frac{7!}{4!} - 6*\frac{6!}{4!*2!} = 5*6*7 - 6*5*3 = 210 - 90 = 120$

b)

$A_{3} ^{2} : C_{3} ^{2} = \frac{3!}{1!} : \frac{3!}{2!*1!} = 6:3 = 2$

c)

$\frac{C_{10} ^{6} - C_{9} ^{6} }{C_{9} ^{5} } = \frac{\frac{10!}{6!*4!}- \frac{9!}{6!*3!} }{\frac{9!}{5!*4!} } = \frac{\frac{7*8*9*10}{1*2*3*4} - \frac{7*8*9}{1*2*3} }{\frac{6*7*8*9}{1*2*3*4} } = \frac{7*3*10 - 7*4*3}{7*2*9} = \frac{210-84}{126} = \frac{126}{126} = 1$

d)

Condițiile de existență a aranjamentelor și combinărilor:

n ≥ 2  

n - 1 ≥ 2 ⇒ n ≥ 3 , n ∈ N

$2C_{n} ^{2} + A_{n-1} ^{2} \leq 32$

$2*\frac{n!}{2! * (n-2)!} + \frac{(n-1)!}{(n-3)!} \leq 32$

$(n-1)*n + (n-2)(n-1) \leq 32$

n² - n + n² - n - 2n + 2 ≤ 32

2n² - 4n - 30 ≤ 0

2(n² - 2n - 15) ≤ 0

n² - 2n - 15 ≤ 0

Calculăm rădăcinile funcției n² - 2n - 15

Δ = 4 + 60 = 64

$n_{1} = \frac{2+8}{2} = 5$

$n_{2} = \frac{2-8}{2} = -3$  

Funcția are semn negativ între rădăcini, adică pentru n ∈ [-3, 5]

Din condiția de existență a aranjamentelor ⇒ n ∈ {3, 4, 5}