Question

Va rog ajutati-ma! Dau coronita!P.S. Semnul ^ inseamna la puterea. Aratati ca A=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+....+2^2003 se divide cu 7.

B=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+...+2^2003 se divide cu 5

C=3+3^2+3^3+...+3^2003 este divizibil cu 4

D=9+9^2+9^3+...+9^2012 se divide cu 10

E=1+7^1+7^2+...+7^1995 se divide cu 400

F=13+13^2+13^3+...+13^2012 se divide cu 7

G=1+5^1+5^2+...+5^2011 se divide cu 31
Va rog sa nuil faceți doar pe A si sa încercați cat mai multe!!! Pleasseeee!!!!!

Answer 1

A=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+....+2^2003 =
nr termeni  2004 deci putem grupa cate 3
=(2^0+2^1+2^2)+2^3(2^0+2^1+2^2)+2^6(2^0+2^1+2^2)....2^2001(2^0+2^1+2^2) =(1+2+4)+2^3(1+2+4)+2^6(1+2+4)....2^2001(1+2+4) =
=7+2^3×7+2^6×7....2^2001×7 =7(1+2^3+2^6+....+2^2001) deci se divide cu 7


B=2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+...+2^2003 =
nr termeni 2004 deci se pot grupa cate 4
=(2^0+2^1+2^2+2^3)+2^4(2^0+2^1+2^2+2^3)+...+2^2000(2^0+2^1+2^2+2^3)=
=(1+2+4+8)+2^4(1+2+4+8)+...+2^2000(1+2+4+8)=
=15+2^4×15+...+2^2000×15=
=15(1+2^4+...2^2000)=
=3×5(1+2^4+...2^2000) deci se divide cu 5

C=3+3^2+3^3+...+3^2003 =  asa nu este divizibil cu 4
asa va fi divizibil cu 4 : C=3+3^2+3^3+.......+3^2003+3^2004 =
nr termeni 2004 putem sa ii grupam cate 2
=(3+3^2)+3^2(3+3^2)+.......+3^2002(3+3^2) =
=(3+9)+3^2(3+9)+.......+3^2002(3+9) =
=12+3^2×12+.......+3^2002×12 =
=12(1+3^2+.......+3^2002) =
=3×4 (1+3^2+.......+3^2002) deci este divizibil cu 4


D=9+9^2+9^3+...+9^2012 se divide cu 10
nr termeni 2012 se pot grupa cate 2
=(9+9^2)+9^2(9+9^2)+...9^2010(9+9^2)=
=(9+81)+9^2(9+81)+...9^2010(9+81)=
=90+9^2×90+...+9^2010×90=
=90(1+9^2+...+9^2010)=
=9×10(1+9^2+...+9^2010)= deci se divide cu 10

E=1+7^1+7^2+7^3...+7^1995 =
nr termeni 1996 se pot grupa cate 4
=(1+7^1+7^2+7^3)+...+7^1992(1+7^1+7^2+7^3) =
=(1+7+49+343)+...+7^1992(1+7+49+343) =
=400+...+7^1992×400=
=400(1+...+7^1992) deci  se divide cu 400


F=13+13^2+13^3+...+13^2012=
nr termeni 2012 se pot grupa cate 2
=(13+13^2)+13^2(13+13^2)+...+13^2010(13+13^2)=
=(13+169)+13^2(13+169)+...+13^2010(13+169)=
=182+13^2×182+...+13^2010×182=
=182(1+13^2+...+13^2010)=
=26×7(1+13^2+...+13^2010) deci se divide cu 7

G=1+5^1+5^2+...+5^2011
nr termeni 2012  nu se pot grupa cate 3  asa nu se divide cu 31

asa va fi divizibil cu 31
G=1+5^1+5^2+...+5^2012=
asa avem 2013 termeni ii putem grupa cate 3
=(1+5^1+5^2)+...5^2010(1+5^1+5^2)=
=(1+5+25)+...5^2010(1+5+25)=
=31+...5^2010×31=
=31(1+...+5^2010) se divide cu 31