Matematică, întrebare adresată de elena3262, 8 ani în urmă

va rog,daca stiti,si un exercitiu

Anexe:

Răspunsuri la întrebare

Răspuns de andyilye
2

Explicație pas cu pas:

5.a)

f(x) = \frac{1+ {x}^{2} }{1- {x}^{2} } \\

1 - {x}^{2} = (1 - x)(1 + x)

=> x \not =  - 1 \: si \: x \not = 1

D = \mathbb{R} - \{-1 ; 1\}

5.b)

f'(x) = \left(\frac{1+ {x}^{2} }{1- {x}^{2} } \right)' = \frac{\left(1+ {x}^{2} \right)'(1- {x}^{2}) - (1+ {x}^{2})\left(1- {x}^{2} \right)' }{(1- {x}^{2})^{2} }  \\ = \frac{2x(1- {x}^{2}) - (1+ {x}^{2})( - 2x) }{(1- {x}^{2})^{2} } = \frac{2x - 2{x}^{3} + 2x + 2{x}^{3}}{(1- {x}^{2})^{2} }  \\ = \frac{4x}{(1- {x}^{2})^{2} }

5.c)

f'(x) = 0 => \frac{4x}{(1- {x}^{2})^{2} } =  > x = 0 \\

f(0) = \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1 \\

=>  \left( 0;1 \right) \: este \: punct \: de \: minim \\

din tabelul semnelor => intervale de monotonie:

-  \infty <  x <  - 1 =  > f(x) \: este \: descrescatoare \\

 - 1 < x < 0 =  > f(x) \: este \: descrescatoare \\

0 < x < 1 =  > f(x) \: este \: crescatoare \\

1 < x <  + \infty =  > f(x) \: este \: crescatoare \\

5.d)

f''(x) = \left( f(x) \right)' = \left( \frac{4x}{(1- {x}^{2})^{2} } \right)'  \\ = 4 \cdot \frac{(x)'(1- {x}^{2})^{2} - x((1- {x}^{2})^{2})'}{(1- {x}^{2})^{4}}  \\ = 4 \cdot \frac{(1- {x}^{2})^{2} - x( - 4x(1- {x}^{2}))}{(1- {x}^{2})^{4}}  \\ = \frac{4(3 {x}^{2} + 1)}{(1- {x}^{2})^{3} }

f''(x) = 0 =  > \frac{4(3 {x}^{2} + 1)}{(1- {x}^{2})^{3} } = 0 \\

=> fără soluții în mulțimea numerelor reale

din tabelul semnelor => intervale de concavitate și convexitate

-  \infty <  x <  - 1 =  > f(x) \: este \: concava \\

 - 1 < x < 1=  > f(x) \: este \: convexa \\

1 < x <  +  \infty =  > f(x) \: este \: concava \\

Alte întrebări interesante