Question

Va rog explicatimi ,mulrumesc

Answer 1

Mai intai vedem ce relatie este intre A la patrat si I3
$A^{2}=\begin{bmatrix}  1& 1 &0 \\  0& 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}  1& 1 &0 \\  0& 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1& 1 &1 \\  0& 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=I_{3}+\begin{bmatrix}  0& 1 &1 \\  0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^{2}-I_{3}=\begin{bmatrix}  0& 1 &1 \\  0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

Sa vedem acum ce s-ar intampla daca am inmulti ecuatia cu A
$A*\begin{bmatrix}  0& 1 &1 \\  0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}  1& 1 &0 \\  0& 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}  0& 1 &1 \\  0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}  0& 1 &1 \\  0& 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=A^{2}-I_{3}$
Deci dupa cum observi, acea matrice este neutra la inmultirea cu A. Deci daca inmultesti cu A la puterea n-2 obtii
$A^{n-2}*(A^{2}-I_{3})=A^{n}-A^{n-2}=A^{2}-I_{3}$