Question

Va rog sa explicati detaliat! ​

Answer 1

b) $a^9 = b^8+c^{10}$

Cea mai simplă cale este de a da o familie explicită de triplete (a, b, c).

Fie $b = 2^{5n}$, $c = 2^{4n}$.

Atunci $b^8 +c^{10} = (2^{5n})^8+(2^{4n})^{10} =2^{40n}+2^{40n} = 2^{40n+1}$.

Ei bine, când e 40n+1 multiplu de 9?

40n+1 = M₉ |·(-2)

⇒ -80n-2 = M₉ |+81n

⇒ n-2 = M₉

⇒ n = M₉+2

Așa că, fie n = 9k+2 cu k ∈ ℕ, iar familia noastră este:

$b = 2^{5(9k+2)} \Rightarrow \boxed{b = 2^{45k+10}}$

$c = 2^{4(9k+2)} \Rightarrow \boxed{c = 2^{36k+8}}$

$a^9 = 2^{40(9k+2)+1} = 2^{360k+81}$

$\Rightarrow a = 2^{\frac{360k+81}{9}}\Rightarrow \boxed{a = 2^{40k+9}}$

Astfel, am găsit un număr infinit de triplete de forma:

$(a, b, c) = (2^{40k+9}, 2^{45k+10}, 2^{36k+8}),\,k \in \mathbb{N}$.

Începând cu (a, b, c) = (512, 1024, 256) pentru k = 0.