Question

Z = 1 + 2i

1) Sa se calculeze |1 + z| si |z^3|
2) sa se arate ca pentru orice n apartine N* nr z^n este z este de forma: an +ibn ch cele doua apartinand lui Z
3) z^n nu apartine lui R.
4) bn+2 -2bn+1+5bn = 0; (de aratat)
Putin ajutor, va rog? :(

Answer 1

1) |1+1+2i|=|2+2i|=√(2²+2²)=2√2

|z³|=|z|³=(√5)³=5√5
pt ca |z|=√(1²+2²)=√5


2) (1+2i)^n=∑Combnluatecate k*1^(n-k)* 2^k* i^k  suma de la k=0 la n

Comb de n luate cate k ∈N
1^(n-k)=1∈N
2^k∈N
i^k∈{1;-1;i;-i} unde 1si -1∈Z iar i si -i= 1*i si, respectiv, -1*i deci avem an termeni bn∈Z
altfel spus toti coeficientiidin dezvoltatre vor fi numere intregi , eventual alaturate lui i, (cele alaturate lui -i sunt natural,e deci ar veni  negative  alaturate lui i) deci atat partea reala cat si coefiocientul partii imaginare vor fi numere intregi

3)
vom scrie z sub forma trigonometrica cu argumentul redus arctg 2/1
 z=√5(cos (arctg2)+isin(arctg2))
 pt ca z^n sa ∈R este necesar ca sin( n*arctg 2)=0
adica n*arctg2=nπ
adica arctg2=π , fals
deci z^n ∉R


4... sorry, nu stiu..probabil se poate doar algebric si imi pare mai laborios