Question

16. Arătaţi că dublul sumei numerelor naturale care împărtite la 2017, dau câtul şi restul egale, se poate scrie ca produs de trei numere naturale consecutive.​

Answer 1

Răspuns:

2S = 2016·2017·2018

Explicație pas cu pas:

Notăm cu aₓ numărul care împărțit la 2017 dă câtul și restul x (x≤2016)

a₁ : 2017 = 1 rest 1 ⇒ a₁ = 2017·1 + 1

a₂ : 2017 = 2 rest 2 ⇒ a₂ = 2017·2 + 2

a₃ : 2017 = 3 rest 3 ⇒ a₃ = 2017·3 + 3

....................................................................

a₂₀₁₆ : 2107 = 2016 rest 2016 ⇒ a₂₀₁₆ = 2017·2016 + 2016

Notăm suma acestor numere cu S. Trebuie să calculăm 2S (dublul sumei)

2S = 2(a₁ + a₂ + a₃ + .... +a₂₀₁₆)

2S = 2(2017·1 + 1 + 2017·2 + 2 + 2017·3 + 3 + ......... + 2017·2016 + 2016)

Grupăm termenii astfel:

2S = 2(2017·1 + 2017·2+ ..... + 2017·2016 + 1 + 2 + 3 + .... + 2016)

2S = 2[2017(1+2+3+ ....+ 2016) + 1 + 2 + 3 + ... + 2016)]

Suma 1 + 2 + 3 + ... + 2016 = $\frac{2016*2017}{2}$

$2S = 2(2017*\frac{2016*2017}{2} + \frac{2016*2017}{2} )$

$2S = 2*\frac{2016*2017}{2} (2017 + 1)$

2S = 2016·2017·2018 - care este un produs de 3 numere naturale consecutive.