Question

161. In triunghiul ABC bisectoarea unghiului B intersectează pe AC in E. Fie ED| |BC şi EF||AB (D€AB; F€BC). Se stie că 2DE=BC=m. Să se arate că: triunghiul DBE este isoscel, EF este mediană în triunghiul BEC. Să se afle raportul ariilor patrulaterului DBEF și a Tr. ABC​

Answer 1

 Salutare!

Desenul este reprezentat mai jos.

știm din ipoteză că [BE bis. ∡B

⇒ ∡CBE = ∡ABE

însă mai știm că DE||BC

având BE secantă

⇒(prin ∡-uri alterne interne) ∡CBE = ∡BED

dar ∡CBE = ∡ABE iar D∈AB

⇒ ∡DBE = ∡DEB ⇒ (def.) ΔDBE isoscel

știm din ipoteză că DE||BC și că 2DE = BC

⇒(def. linie mij.) ED - linie mij. ⇒ E = mij. AC, D = mij. AB

E = mij. AC, [BE bis. ∡B (ip.)

⇒(prin T.) ΔABC isoscel ⇔ AB = BC

EF mediana ΔBEC (ip.) ⇔ F = mij. BC ⇔ BF = BC/2 = AB/2

aflăm că ED = DB = AB/2 (ΔDBE isoscel, DE = DB; D = mij.AB)

pentru că ED=DB=BF

⇒DBFE romb ⇔ Aria DBFE = DF*EB/2

D = mij. AB, F = mij. BC ⇒ DF = linie mij. ||-ă cu AC, DF = AC/2 sau AC=2DF

Aria ABC = AC*BE/2 deoarece Δ-ul este isoscel, BE este mediană și devine și înălțime

Aria ABC = 2DF*BE/2 = DF*BE

iar Aria DBFE = DF*BE/2

⇒ Aria DBFE/Aria ABC = DF*BE/2 /(DF*BE) = 1/2

 Cu drag!