Question

163. Se dă triunghiul ABC şi un punct M în interiorul lui. Fie A', B', C' simetricele lui M faţă de BC, AC, AB. Să se arate că triunghiurile C'AB, B'CA' şi A'BC" sint isoscele. ​

Answer 1

Explicație pas cu pas:

A', B', C' sunt simetricele lui M faţă de BC, AC, AB

notăm: MA' ∩ BC = {G}, MB' ∩ AC = {H}, MC' ∩ AB = {J}

atunci avem:

→ MG ≡ GA' și MA' ⊥ BC

în ΔBMA', BG este mediană și mediatoare => ΔBMA' este isoscel => BM ≡ BA'

în ΔCMA', CG este mediană și mediatoare => ΔCMA' este isoscel => CM ≡ CA'

→ MH ≡ HB' și MB' ⊥ AC

în ΔCMB', CH este mediană și mediatoare => ΔCMB' este isoscel => CM ≡ CB'

în ΔAMB', AH este mediană și mediatoare => ΔAMB' este isoscel => AM ≡ AB'

→ MJ ≡ JC' și MC' ⊥ AB

în ΔAMC', AJ este mediană și mediatoare => ΔAMC' este isoscel => AM ≡ AC'

în ΔBMC', BJ este mediană și mediatoare => ΔBMC' este isoscel => BM ≡ BC'

→ din AM ≡ AB' și AM ≡ AC' => AB' ≡ AC'

=> ΔAB'C' isoscel

→ din BM ≡ BA' și BM ≡ BC' => BA' ≡ BC'

=> ΔBA'C' isoscel

→ din CM ≡ CA' și CM ≡ CB' => CA' ≡ CB'

=> ΔCA'B' isoscel

q.e.d.