Question

2. se considera expresia E(x) = 3(x + 2)^2 - 2(4x - 3 - x^2) + 7(3x + 2) - 2 unde x este nr real.
a) arata ca E(x) = 5x^2 + 25x + 30, pt otice nr real x.
b) demonstreaza ca nr natural E(n) este divizibil cu 10, pt orice nr natural n.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

$E(x) = 3(x + 2)^{2} - 2(4x - 3 - x^{2}) + 7(3x + 2) - 2 = \\ = 3{x}^{2} + 12x + 12 - 8x + 6 + 2 {x}^{2} + 21x + 14 - 2 \\ = 5 {x}^{2} + 33x - 8x + 32 - 2 = \bf 5 {x}^{2} + 25x + 30$

b)

$E(n) = 5n^{2} + 25n + 30 = 5(n^{2} + 5n + 6) =$

$= 5(n + 2)(n + 3)$

$(n + 2)(n + 3) \ \ \vdots \ \ 2$

deoarece este un produs de două numere consecutive

$\implies E(n) \ \ \vdots \ \ (5 \cdot 2) \iff E(n) \ \ \vdots \ \ 10 \ \ \forall \ n \in \mathbb{N}$

$q.e.d.$