Question

Cum se rezolva c) ?
Se foloseste probabil si inegalitatea de la b), de aceea am atasat tot

Answer 1

Răspuns:

Se observă că șirul este strict crescător.

Dând lui k valori de la 1 la n în prima inegalitate de la b) și adunând inegalitățile se obține

$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}}+\ldots+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}}\right) < 1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}$

Rezultă

$a_{n+1}-1 < 2-\dfrac{2}{\sqrt{n+1}}\Rightarrow a_{n+1} < 3-\dfrac{2}{\sqrt{n+1}} < 3, \ \forall n\ge 1$

Deci șirul este crescător și mărginit superior, deci este convergent.

Explicație pas cu pas: