Question

8. Află numerele a și b știind că:
a) au suma 120 și sunt invers proporționale cu numerele 5 și 7;
b) au diferența 8 și sunt invers proporţionale cu numerele 7 și 9;
c) au suma pătratelor egală cu 225 și sunt invers proporţionale cu nume
3 şi 4;
d) au suma cuburilor egală cu 728 și sunt invers proporționale cu nume,
3 și 4;
e) 6a - b= 80 și sunt invers proporționale cu numerele 2 și 7;
f) 2a² + 3b²= 98 și sunt invers proporționale cu numerele 4 și 5.​

Answer 1

a. {a,b} i.p. {5,7}=>5a=7b=k

k=coeficient de proportionalitate

5a=k=>a=k/5

7b=k=>b=k/7

a+b=120

k/5+k/7=120

*aducem la acelasi numitor

7k/35+5k/35=120

12k/35=120

12k=35×120

12k=4200

k=4200÷12

k=350

a=k/5=>a=350÷5=>a=70

b=k/7=>b=350÷7=>b=50

b.se face exact la fel ca la a),fii atent ca este diferența,nu suma

c. {a,b} i.p. {3,4}=>3a=4b=k

3a=k=>a=k/3

4b=k=>b=k/4

${a}^{2} + {b}^{2} = 225 \\( { \frac{k}{3} })^{2} + ( \frac{k}{4} ) ^{2} = 225 \\ \frac{ {k}^{2} }{9} + \frac{ {k}^{2} }{16} = 225 \\ \frac{ {16k}^{2} }{144} + \frac{ {9k}^{2} }{144} = 225 \\ \frac{ {25k}^{2} }{144} = 225 \\ 25 {k}^{2} = 32400 \\ {k}^{2} = 1296 \\ k = 36$

a=k/3=>a=36÷3=>a=12

b=k/4=>b=36÷4=>b=9

d. {a,b} i.p. {3,4} =>

a=k/3

b=k/4

a^3+b^3=728

in acelasi mod ca mai sus sau te poti folosi de formula:

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

e. {a,b} i.p. {2,7}

2a=7b=k

2a=k=>a=k/2

7b=k=>b=k/7

6a-b=80

6(k/2)-k/7=80

6k/2-k/7=80

*aduci la acelasi numitor

42k/14-2k/14=80

(42k-2k)/14=80

40k/14=80

40k=14×80

40k=1120

k=1120÷40

k=28

a=k/2=>a=28/2=>a=14

b=k/7=>b=28/7=>b=4

f. {a,b} i.p. {4,5} =>4a=5b=k

4a=k=>a=k/4

5b=k=>b=k/5

2a^2+3b^2=98

2×(k/4)^2+3×(k/5)^2=98

2×(k^2/16)+3×(k^2/25)=98

k^2/8+3k^2/25=98

*aduci la acelasi numitor

25k^2/200+24k^2/200=98

49k^2/200=98

49k^2=19600

k^2=400

k=20

a=k/4=>a=20/4=>a=5

b=k/5=>b=20/5=>b=4