Question

Ajutati-maa repedeee foarte repedee va rog urgent !!! 
Fie trapezul ABCD ( AB || CD ) , M apartine AD , MN || AB , MN intersectat AC = {P} , MN intersectat cu DB = {Q} . Demonstrati ca daca PQ = 1/3 * MN , atunci DP  trece prin mijlocul lui [AB] .

Answer 1

Notam cu S intersectia lui DP cu AB.

MN || AB determina rapoartele egale:
$\frac{DM}{MA} = \frac{CN}{NB}$, deci:

$\frac{DM}{DM+MA} = \frac{CN}{CN+NB}$, adica:

$\frac{DM}{DA} = \frac{CN}{CB}$    (rel 1)

 Din MN || AB avem: triunghiul DMQ asemenea cu triunghiul DAB, deci:

$\frac{DM}{DA} = \frac{MQ}{AB}$  (rel 2)

respectiv triunghiul CPN asemenea cu triunghiul CAB, deci:

$\frac{CN}{CB} = \frac{PN}{AB}$    (rel 3)

Din (rel 1), (rel 2) si (rel 3) rezulta ca:

$\frac{MQ}{AB} = \frac{PN}{AB}$, deci:

MQ=PN, adica
MP+PQ=PQ+QN, de unde:
MP=QN, iar
MN=MN+PQ+QN=2*MP+$\frac{MN}{3}$, deci:
3MN=6MP+MN
2MN=6MP
MN=3MP, deci
MP=PQ=QN=$\frac{MN}{3}$

Din MN || AB mai avem triunghiul DMP asemenea cu triunghiul DAS, deci:

$\frac{MP}{AS} = \frac{DP}{DS}$

respectiv triunghiul DPQ asemenea cu triunghiul DSB, deci:

$\frac{PQ}{SB} = \frac{DP}{DS}$

Din ultimele doua relatii rezulta ca:

$\frac{PQ}{SB} = \frac{MP}{AS}$, dar MP=PQ, deci
AS=SB, adica S este mijlocul lui AB.

(q.e.d.)