Question

Comparați numerele 5 la puterea 150 si 2 la 350

Answer 1

5¹⁵⁰   ???    2³⁵⁰

5¹⁵⁰ = ( 5¹⁵ )¹⁰

2³⁵⁰ = ( 2³⁵ ) ¹⁰

--------------------

Observam ca ambele paranteze sunt ridicate la puterea a10-a, deci ne mai ramane de comparat 5¹⁵ cu 2³⁵

5¹⁵ = ( 5³ ) ⁵

2³⁵ = ( 2⁷ ) ⁵

Ambele paranteze sunt ridicate la puterea a5-a, deci ne mai ramane de comparat 5³ cu 2⁷.

=> 5³ = 125

    2⁷ = 128

=> 5³ < 2⁷ => 5¹⁵⁰ < 2³⁵⁰

Answer 2

Metoda prin impărțiri succesive ale bazelor.

Se impart bazele când una când cealaltă (în funcție de care putere e mai mică), până când se ajunge la 2 puteri favorabile divizibile între ele.

$\\5^{150}\quad \text{si}\quad 2^{350} \\ \\ 2^{150}\cdot 2.5^{150}\quad \text{si}\quad 2^{150}\cdot 2^{200}\\\\2.5^{150} \quad \text{si}\quad 2^{200}\\ \\ 1.25^{150}\cdot 2^{150}\quad \text{si}\quad 2^{150}\cdot 2^{50} \\ \\ 1.25^{150}\quad \text{si}\quad 2^{50}\\ \\ 1.25^{50}\cdot 1.25^{100}\quad \text{si}\quad 1.6^{50}\cdot 1.25^{50}\\ \\ 1.25^{100}\quad \text{si}\quad 1.6^{50} \\ \\ \Big[(1.25)^2\Big]^{50}\quad \text{si}\quad 1.6^{50} \\ \\ 1.5626^{50}\quad <\quad 1.6^{50}$

$\\\Rightarrow \boxed{5^{150} < 2^{350}}$