Question

Determinati valoarea numarului natural n pentru care numarul : A = [tex] n^{4} - n^{3} + 3n -3
[/tex] este nr natural prim :)

Answer 1

$A=n^3(n-1)+3(n-1)=(n-1)(n^3+3)$
Pentru ca A sa fie numar prim, trenuie ca una din paranteze sa fie egala cu 1, iar cealaltă, numar prim.
A doua paranteza nu poate fi egala cu 1 (este cel putin egala cu 3).
Daca prima paranteza este egala cu 1, se obtine n=2  si apoi A=11.

Answer 2

Descompunem A, si obtinem $A=n^3(n-1)+3(n-1)=(n^3+3)(n-1)$
Deci acest numar se va divide prin $n^3+3$, respectiv prin $n-1$.

Tinand cont de definitia unui numar prim, el trebuie sa se divida doar prin 1 si el insusi. Punem conditia ca una din paranteze sa fie 1.

a) n-1=1 => n=2
Inlocuind n=2 in prima paranteza, obtinem $2^3+3=8+3=11$
Deci un numar de acest tip va fi 11x1=11, care este natural si prim.

b)$n^3+3=1 => n^3=-1 =>n=-1$
Inlocuind n=-1 in a doua paranteza obtinem -2, deci numarul va fi (-2)x1=-2, care nu este natural.

Singura solutie este deci, n=11