Question

Elemente de combinatronica. Rezvati urmatoarea problema:

Pianul este un instrument muzical foarte popular inca din secolul XVIII. Un element esential al pianului il reprezinta clapele. Clapele sunt de culoare alba, si de culoare neagra. Ele sunt dispuse succesiv astfel: prima clapa este alba (Do), urmatoarea clapa eate neagra (Do#), urmatoarea clapa este alba (Re), urmatoarea clapa este neagra (Re#), urmatoarea clapa este alba(Mi), urmatoarea clapa este alba(Fa), urmatoarea clapa este neagra (Fa#), urmatoarea clapa este alba(Sol), urmatoarea clapa este neagra(Sol#), urmatoarea clapa este alba(La), urmatoarea clapa este neagra (La#) si urmatoarea clapa este alba (Si). Dupa aceea, clapele se repeta in aceeasi ordine.

Consideram un pian cu 8 astfel de succesiuni de clape, iar la final o clapa alba (Do), ceea ce reprezinta un pian cu 8 octave.
Se permuta (schimba intre ele) o coarda corespunzatoare unei clape negre cu o coarda corespunzatoare unei clape albe. Se lovesc apoi succesiv 4 clape in ordine arbitrar aleasa, dar obligatoriu diferite. Care este probabilitatea ca toate cele 4 clape sa produca sunetul lor autentic (sa nu includa pe cele ale caror corzi au fost schimbate)?

Answer 1

nu stiu sigur daca este bine, daca nu este bine, sterge-mi raspunsul, dar m-am gandit:

din imaginea atasata rezulta ca intr-o succesiune sunt in total 12 clape (5 negre si 7 albe)
daca sunt 8 succesiuni inseamna ca sunt 96 clape +1 care zice ca este la final alba
deci 97 clape (40 negre si 57 albe)
deoarece se schimba o clapa neagra, probabilitatea ca sa o apese doar dintr-o singura incercare este 1/40, si deoarece se schimba o clapa alba probabilitatea ca sa nimereasca clapa schimbata este de 1/57
deci rezulta ca pentru clapele negre este 39/40 sansa sa nu nimereasca coarda schimbata si 56/57 sansa pentru cele galbene
iar pentru 4 incercari, in cazul clapelor negre este 4/40 sa nimereasca iar pentru cele albe este 4/57
iar sa nu nimereasca rezulta ca sansele sunt 36/40 pentru cele negre si 53/57 pentru cele albe
iar prin medie tuturor clapelor se afla raspunsul
$\frac{ 40*\frac{36}{40}+ 57*\frac{53}{57} }{40+57} = \frac{36+53}{97} = \frac{89}{97}$
deci sunt 89/97 sanse ca 4 clape alese la intamplare (diferite) sa aiba sunetul autentic