Question

Fie funcţia de gradul doi   $f:R$→$R, f(x)= x^{2} -bx+c$,unde $b$  şi  $c$  sunt numere
reale.  Se ştie că graficul funcţiei are axa de simetrie  $x=3$  iar  cea mai mică valoare a funcţiei este egală cu  $-4$
a)     Găsiţivalorile numerice ale coeficienţilor   $b$ şi $c$ ;  
b)     Scrieţiforma canonică a funcţiei de gradul doi obţinute; 
c)      Determinaţi semnul acestei funcţii. 

Answer 1

a)
Extrema functiei de gradul 2 se gaseste pe axa de simetrie.

=> -(-b)/2a = 3  =?  b/2 = 3  =>  b = 6

F(3) = -4
9 - 18 + c = -4
c = 18 - 9 - 4 = 5
=> f(x) = x² - 6x + 5

b)
Forma canonoca este:
F(x) = a * (x + b/2 * a)² - (Δ/4) * a
a = 1
b/2*a = -6/2 = -3
Δ/4 = (36 - 20) = 16/4 = 4 
 
F(x) = (x - 3)² -4     (forma canonica a functiei)

c)
f(x) = x² - 6x + 5
x₁₂ = (6 ± √(36-20))/2
x₁₂ =  (6 ± 4)/2
x₁ = (6 + 4) / 2 = 5
x₂ = (6 - 4) / 2 = 1

f(3) = 9 - 18 + 5 = - 4

=>
F(x) = 0 pentru  x = 1 si x = 5
F(x) < 0 pentru  x ∈ (1,  5)
F(x) > 0 pentru  x ∈ (-∞,  1 ) U (5,  +∞)