Question

Fie xn =( √n +√(n+1) )² , n∈N . Sa se arate ca , pentru orice n∈N , are loc egalitatea [xn]=4n+1 , unde [xn] reprezinta partea intreaga a lui xn.
As dori rezolvare complete , Multumesc!

Answer 1

(√n + √n+1 ) ² = 2n +1 + 2√n²+n 
                   si stim   n ≤ √n²+n  < n +1     pentru n ≥ 0              I  · 2 
              2n  ≤ 2√n²+n   < 2n + 2                                     I  + 2n +1 
2n + 2n +1  ≤  2n +1 + 2√n²+n  < 2n + 2 + 2n +1 
4n +  1   ≤  2n +1 + 2√n²+n    <  4n + 3 
4n +1  ≤  (√n + √n +1)²  < 4n +3   
                ⇒ [√4n+1 ] ≤ [√n +√n+1 ] < [√4n +3]
dem [√4n+1 ] = [√4n+3 ] 
cazul I . daca [√4n+1] =2k  ⇒ 2k≤√4n+1 < 2k +1 ⇒4n+1 < 4k²+4k+1 
⇒ 4n< 4k²+4k ⇒           4n≤4k²+4k-4    ⇒                 4n+3 ≤4k²+4k-1 
atunci  2k < √4n+3 ≤√4k²+4k-1 < √4k²+4k+1 = 2k+1 
                                                   ⇒[ √4k+3] = 2k= [√4n+1]

cazul II . daca  [√4n+1] = 2k +1   ⇒  2k +1 ≤√4n+1 < 2k+2 
avem 4n+1 < 4k²+8k+8 
                      ⇒  4n  < 4k²+8k +7 
                                  ⇒ 4n ≤ 4k²-8k +4 ⇒  4n+3 ≤ 4k² +8k+7  < ( 2k+2)²
⇒   2k+1 < √4n+3 < 2k+2 
[√4n+3 ] = 2k+1 = [√4n+1 ] 
⇒[ xn ] = [4n +1 ]