Question

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție $x * y=x y+5 x+5 y+20$.

$5 p$ a) Arătați că $2 *(-1)=23$.

$5 p$ b) Demonstrați că $e=-4$ este elementul neutru al legii de compoziție,, $* "$ ".

$5 p$ c) Pentru $r \in\{0,1,2\}$, notăm cu $A(r)$ mulțimea numerelor naturale care au restul $r$ la împărțirea cu 3. Determinaţi numerele $r \in\{0,1,2\}$ pentru care $A(r)$ este parte stabilă a lui $\mathbb{Z}$ în raport cu legea de compoziție , *".

Answer 1

$x * y=x y+5 x+5 y+20$

a)

Inlocuim pe x cu 2 si pe y cu -1 si obtinem:

-2+10-5+20=30-7=23

b)

Elementul neutru

x*e=x

xe+5x+5e+20=x

xe+4x+5e+20=0

x(e+4)+5(e+4)=0

(e+4)(x+5)=0

e+4=0

e=-4

c)

x,y∈A(0)

x=0 si y=0

0*0=0+0+0+20=20

0*0=20

0∈A(0)

20∉A(0) (20:3=6 rest 2) ⇒A(0) nu este parte stabila a lui Z in raport cu legea de compozitie

x,y∈A(1)

x=3k+1

y=3m+1

x*y=(3k+1)(3m+1)+5(3k+1)+5(3m+1)+20=9km+18k+18m+31

31:3=10 rest 1⇒ x*y∈A(1)⇒ A(1) este parte stabila a lui Z in raport cu legea de compozitie⇒ r=1

x,y∈A(2)

x=3k+2

y=3m+2

x*y=(3k+2)(3m+2)+5(3k+2)+5(3m+2)+20=9km+21k+21m+44

44:3=14 rest 2⇒ x*y∈A(2)⇒ A(2) este parte stabila a lui Z in raport cu legea de compozitie⇒ r=2

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919075

#BAC2022

#SPJ4