Question

Se consideră funcţia $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{2}+2 x-2 \ln (x+1)$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{2 x(x+2)}{x+1}, x \in(-1,+\infty)$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinaţi numărul real $a \in(-1,+\infty)$, știind că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(a, f(a))$ este paralelă cu dreapta de ecuație $y=3 x+2020$.

c) Demonstrați că $(x+1)^{2} \geq 2 \ln (x+1)+1$, pentru orice $x \in(-1,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=x^{2}+2 x-2 \ln (x+1)$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=2x+2-\frac{2}{x+1} =\frac{2x^2+2x+2x+2-2}{x+1}=\frac{2x^2+4x}{x+1} =\frac{2x(x+2)}{x+1}$

b)

Doua drepte sunt paralele daca au pantele egale

Panta dreptei y=3x+2020 este 3

Panta tangentei la graficul functiei f in punctul A(a,f(a)) este f'(a)

Deci f'(a)=3

$\frac{2a(a+2)}{a+1} =3\\\\2a^2+4a=3a+3\\\\2a^2+a-3=0\\\\\Delta=1+24=25\\\\a_1=\frac{-1+5}{4} =1\\\\a_2=\frac{-1-5}{4} =-\frac{3}{2} < -1\ Nu$

c)

Monotonia functiei f

f'(x)=0

2x(x+2)=0

x=0 si x=-2

Facem tabel semn

x      -1         0           +∞

f'(x)  - - - - - 0 + + + + +

f(x)     ↓     f(0)     ↑

                  0

f(0)=0

f este descrescatoare pe (-1,0] si crescatoare pe [0,+∞)

f(x)≥f(0)

f(x)≥0

x²+2x-2ln(x+1)≥0

x²+2x+1-1-2ln(x+1)≥0

(x+1)²≥1+2ln(x+1)

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919082

#BAC2022

#SPJ4