Question

Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y=x+y+7 x y$.

$5 p$ a) Arătați că $x \circ y=7\left(x+\frac{1}{7}\right)\left(y+\frac{1}{7}\right)-\frac{1}{7}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

5p b) Determinaţi numerele reale $x$, pentru care $x \circ x=5$.

$5 p$ c) Dați exemplu de numere distincte $a, b \in \mathbb{Q} \backslash \mathbb{Z}$ pentru care numărul $a \circ b$ este natural.

Answer 1

$x \circ y=x+y+7 x y$

a)

$x+y+7xy=x+7xy+y=7x(\frac{1}{7}+y)+(y+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}=(y+\frac{1}{7})(7x+1)-\frac{1}{7}=7(y+\frac{1}{7})(x+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}$

O problema similara de bac: https://brainly.ro/tema/9882033

b)

$x\circ x=x+x+7x^2=5\\\\7x^2+2x-5=0\\\\\Delta=4+140=144\\\x_1=\frac{-2+12}{14} =\frac{5}{7} \\\\x_2=\frac{-2-12}{14}=-1$

c)

$a\circ b=a+b+7ab=7(a+\frac{1}{7}) (b+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}$

$a\circ b\in N$

$7(a+\frac{1}{7})(b+\frac{1}{7})-\frac{1}{7}\in N\\\\\\De\ exemplu:\\7(a+\frac{1}{7} )(b+\frac{1}{7})=\frac{15}{7}\\\\\\\frac{15}{7}-\frac{1}{7}=2\in N\\\\ 49(a+\frac{1}{7})(b+\frac{1}{7})=15\\\\(a+\frac{1}{7})(b+\frac{1}{7})=\frac{15}{49} \\\\Avem:\\\\a+\frac{1}{7} =\frac{5}{7} \\\\a=\frac{4}{7}\ si\ \\ b+\frac{1}{7}=\frac{3}{7}\\\\ b=\frac{2}{7}$

O problema similara de bac: https://brainly.ro/tema/9882033

#BAC2022

#SPJ4