Question

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ şi $M(x)=A+x B$, unde $x$ este număr real.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $\operatorname{det}(M(1))=0$.

5p b) Demonstrați că $M(x) M(y)=M(y) M(x)$ dacă și numai dacă $x=y$.

$5 \mathbf{p}$ c) Determinați perechile de numere întregi $(m, n)$ pentru care $M\left(m^{2}+1\right) M\left(n^{2}\right)=M\left(n^{2}\right) M\left(m^{2}+1\right)$.

Answer 1

$A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$

a)

Calculam det(M(1)), inlocuind pe x cu 1 si apoi facem diferenta dintre produsul diagonalelor

M(1)=A+B

$M=\left(\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right) +\left(\begin{array}{ccc}0&0\\1&1\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right)$

$detM=\left|\begin{array}{ccc}1&1\\1&1\end{array}\right|=1-1=0$

b)

M(x)M(y)=(A+xB)(A+yB)=A²+yAB+xBA+xyB²

M(y)M(x)=(A+yB)(A+xB)=A²+xAB+aBA+xyB²

Daca le egalam vom obtine:

A²+yAB+xBA+xyB²=A²+xAB+aBA+xyB²

yAB+xBA=xAB+yBA

Calculam AB si BA

$AB=\left(\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right)=A\\\\BA=\left(\begin{array}{ccc}0&0\\1&1\end{array}\right)=B$

yAB+xBA=xAB+yBA

yA+xB=xA+yB

De aici obtinem ca x=y

c)

Ne folosim de punctul b

Daca M(x)M(y)=M(y)M(x), atunci x=y

Adica m²+1=n²

m²-n²=-1

(m-n)(m+n)=-1

Avem doua cazuri:

• m-n=1 si m+n=-1

Adunam relatiile si obtinem:

2m=0

m=0 si n=-1

• m-n=-1 si m+n=1

Adunam relatiile si obtinem:

2m=0

m=0 si n=1

O problema similara de bac ar fi: https://brainly.ro/tema/9882025

#BAC2022

#SPJ4