Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12$.

$5 p$ a) Arătați că $x * 1=3$, pentru orice număr real $x$.

$5 p$ b) Determinați numărul real [tex][tex]$x$[tex][tex] pentru care [tex]$0 * x=-9$[tex].

$5 p$ c) Demonstrați că, dacă [tex]$x * y=3$[tex], atunci [tex]$(x-1)(y-1)=0$[tex].

Answer 1

$x * y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12$

a)

x*1=3

Inlocuim pe y cu 1 si calculam

$x * 1=3^{x+1}-3^{x+1}-3^{1+1}+12\\\\x*1=-3^2+12=-9+12=3$

b)

0*x=-9

Inlocuim pe x cu 0 si pe y cu x si calculam

$0 * x=3^{0+x}-3^{0+1}-3^{x+1}+12=-9\\\\3^x-3-3^{x+1}+12+9=0\\\\3^x-3^{x+1}+18=0\\\\3^x(1-3)+18=0\\\\-2\cdot3^x=-18\\\\3^x=9\\\\x=2$

x=2

c)

Demonstrați că, dacă x*y=3, atunci (x-1)(y-1)=0

$x * y=3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12=3\\\\3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+12=3\\\\\\3^{x+y}-3^{x+1}-3^{y+1}+9=0\\\\3^x(3^y-3)-3(3^y-3)=0\\\\(3^y-3)(3^x-3)=0\\\\3^y=3\\\\y=1\\\\3^x=3\\\\x=1$

Daca x=1 si y=1 atunci (x-1)(y-1)=(1-1)(1-1)=0

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/8464554

#BAC2022