Question

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x * y=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+8}$.

5p a) Arătați că $2020 *(-2020)=2$.

$5 p$ b) Determinaţi elementul neutru al legii de compoziție , $* "$.

5p c) Ştiind că $(\mathbb{R}, *)$ este grup, demonstrați că funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^{3}+8$ este morfism de la grupul $(\mathbb{R}, *)$ la grupul $(\mathbb{R},+)$.

Answer 1

$x * y=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+8}$

a)

Inlocuim pe x cu 2020 si pe y cu -2020

$2020* (-2020)=\sqrt[3]{2020^{3}+(-2020)^{3}+8}=\sqrt[3]{8} =2$

b)

Elementul netru:

x*e=x

$x * e=\sqrt[3]{x^{3}+e^{3}+8}=x\\\\\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+8}=x\ \ \ |^3\\\\x^3+e^3+8=x^3\\\\e^3=-8\\\\e=-2$

c)

f(x*y)=f(x)+f(y)

$f(x * y)=f(\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}+8})=x^3+y^3+8+8=x^3+y^3+16\\\\f(x)+f(y)=x^3+8+y^3+8=x^3+y^3+16$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9882328

#BAC2022

#SPJ4