Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{2}{3} x \sqrt{x}-x$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\sqrt{x}-1, x \in(0,+\infty)$.

$5 p$ b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcţiei $f$ in punctul $A\left(1,-\frac{1}{3}\right)$.

$5 p$ c) Demonstrați că $x(2 \sqrt{x}-3) \geq-1$, pentru orice $x \in(0,+\infty)$.

Answer 1

$f(x)=\frac{2}{3} x \sqrt{x}-x$

a)

Vezi tabelul de derivate din atasament

$f'(x)=(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2} }-x)'=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-1=\sqrt{x} -1$

b)

Ecuatia tangentei in x=1

y-f(1)=f'(1)(x-1)

$f(1)=\frac{2}{3} -1=-\frac{1}{3}$

f'(1)=0

Ecuatia tangentei in x=1:

$y+\frac{1}{3} =0\\\\y=-\frac{1}{3}$

c)

Monotonia functiei f

f'(x)=0

x=1

Tabel semn

x           0           1              +∞

f'(x)         - - - - - 0 + + + + +

f(x)           ↓       f(1)       ↑

f este crescatoare pe [1,+∞) si descrescatoare pe (0,1]

f(x)≥f(1)

$\frac{2}{3} x \sqrt{x}-x\geq -\frac{1}{3} \ \ |\cdot 3\\\\2x\sqrt{x} -3x\geq -1\\\\x(2\sqrt{x} -3)\geq -1$

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9882325

#BAC2022

#SPJ4