Question

Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie $x * y=2 x y-4(x+y)+7$.

5p 1. Arătați că $(-2) * 2=-1$.

5p 2. Demonstrați că legea de compoziție,, *" este comutativă.

5p 3. Demonstrați că $x * y=2(x-2)(y-2)-1$, pentru orice numere reale $x$ şi $y$.

5p 4. Determinaţi numerele reale $x$ pentru care $(x+1) * x=3$.

$5 p$] 5. Determinaţi numerele reale $x$ pentru care $2^{2 x} * 2^{x}=-1$.

5p 6. Determinaţi valorile reale nenule ale lui $x$ pentru care $x * \frac{1}{x} \leq-1$.

Answer 1

$x * y=2 x y-4(x+y)+7$

1)

Inlocuim pe x cu -2 si pe y cu 2 si calculam:

(-2)*2=-8-4(-2+2)+7=-8+7=-1

2)

Comutativitatea:

x*y=y*x

2xy-4(x+y)+7=2yx-4(y+x)+7     |-7

2xy-4x-4y=2yx-4y-4x   |-2xy

-4x-4y=-4y-4x   |+4x

-4y=-4y |+4y

0=0 Adevarat⇒ legea este comutativa

3)

2xy-4(x+y)+7=2xy-4x-4y+7=2xy-4x-4y+8-1=2x(y-2)-4(y-2)-1=2(y-2)(x-2)-1

4)

(x+1)*x=3

2(x+1)x-4(x+1+x)+7=3

2x(x+1)-4(2x+1)=-4     |:2

x(x+1)-2(2x+1)=-2

x²+x-4x-2+2=0

x²-3x=0

x(x-3)=0

x=0 si x=3

5)

$2^{2x}*2^x=-1\\\\2(2^{2x}-2)(2^x-2)-1=-1\\\\2(2^{2x}-2)(2^x-2)=0\\\\2^{2x}-2=0\\\\2^{2x}=2\\\\2x=1\\\\x=\frac{1}{2}\\\\\\ 2^x-2=0\\\\2^x=2\\\\x=1$

6)

$x*\frac{1}{x}\leq -1\\\\ 2(x-2)(\frac{1}{x}-2)-1\leq -1\\\\ 2(x-2)(\frac{1}{x}-2)\leq 0\\\\(x-2)(\frac{1}{x}-2)\leq 0$

Facem tabel semn

$x=2\ si \ x=\frac{1}{2}$

       x                        -∞    0     $\frac{1}{2}$       2       +∞

$(x-2)(\frac{1}{x}-2)$    + + + + + +| - - 0+ + 0- - - - -

x∈(0,$\frac{1}{2}$)∪[2,+∞)

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4728041

#BAC2022