Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{e^{x}+x}{e^{x}}$.

$5 p$ a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=\frac{1-x}{e^{x}}, x \in \mathbb{R}$.
$5 p$ b) Demonstrați că tangenta la graficul funcției $f$ în punctul $A(1, f(1))$ este paralelă cu asimptota spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

$5 \mathbf{p}$ c) Arătaţi că $g^{\prime}(x)+g(x)=\frac{1}{e^{x}}$, pentru orice număr real $x$, unde $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x)=f^{\prime \prime}(x)$.

Answer 1

$f(x)=\frac{e^{x}+x}{e^{x}}$

a)

Vezi tabel de derivate in atasament

$f'(x)=\frac{(e^x+1)e^x-e^x(e^x+x)}{e^{2x}} =\frac{e^{2x}+e^x-e^{2x}-xe^x}{e^{2x}} =\frac{e^x-xe^x}{e^{2x}}=\frac{1-x}{e^x}$

b)

Daca doua drepte sunt paralele atunci pantele sunt egale

Panta tangentei f'(1)=0

Asimptota spre +∞

$\lim_{x +\to \infty} \frac{e^x+x}{e^x} = \lim_{x +\to \infty} 1+\frac{x}{e^x}$

Aplicam L'Hopital

(derivam numarator, derivam numitor)

$\lim_{x +\to \infty} 1+\frac{1}{e^x} =1+0=1$

Dreapta de ecuatie y=1 este asimptota orizontala spre +∞

panta=0

Cum pantele sunt egale, atunci dreptele sunt paralele

c)

$g(x)=f''(x)=\frac{-e^x-e^x(1-x)}{e^{2x}} =\frac{-1-1+x}{e^x} =\frac{x-2}{e^x}=(x-2)e^{-x}$

$g(x)=\frac{x-2}{e^x}\\\\g'(x)=\frac{e^x-(x-2)e^x}{e^{2x}}=\frac{3-x}{e^x} \\\\g'(x)+g(x)=\frac{3-x}{e^x} +\frac{x-2}{e^x}=\frac{1}{e^x}$

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9882194

#BAC2022

#SPJ4