Question

Pe mulţimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y=x^{2}+x y+y^{2}$.

$5 p$ a) Arătatii că $x \circ x \geq 0$, pentru orice număr real $x$.

$5 p$ b) Se consideră numerele reale $a$ şi $b$ cu $a \neq b$. Determinați numărul real $x$ pentru care $x \circ a=x \circ b$.

5p c) Determinați numărul real $x$ cu proprietatea că $x \circ(x+1)=-x^{3}$.

Answer 1

$x \circ y=x^{2}+x y+y^{2}$

a)

$x\circ x\geq 0\\\\x^2+x^2+x^2\geq 0\\\\3x^2\geq 0\\\\x^2\geq 0$

b)

$x^2+xa+a^2=x^2+xb+b^2\\\\x(a-b)+a^2-b^2=0\\\\x(a-b)+(a-b)(a+b)=0\\(a-b)(x+a+b)=0\\\\Cum\ a\neq b\\\\x+a+b=0\\\\x=-a-b$

c)

$x^2+x(x+1)+(x+1)^2=-x^3\\\\x^2+x^2+x+x^2+2x+1=-x^3\\\\x^3+3x^2+3x+1=0\\\\x^3+1+3x(x+1)=0\\\\(x+1)(x^2-x+1)+3x(x+1)=0\\\\(x+1)(x^2+2x+1)=0\\\\(x+1)^3=0\\\\x+1=0\\\\x=-1$

Un alt exercitiu cu legi de compozitie gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919032

#BAC2022

#SPJ4