Question

Se consideră funcţia $f:(-1,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x-(x+1) \ln (x+1)$.

5p a) Arătaţi că $f^{\prime}(x)=1-\ln (x+1), x \in(-1,+\infty)$.

$5 \mathbf{p}$ b) Determinați intervalele de monotonie ale funcţiei $f$.

5p c) Demonstrați că funcţia $f$ este concavă.

Answer 1

$f(x)=2 x-(x+1) \ln (x+1)$

a)

Vezi tabelul de derivate in atasament

$f'(x)=2-ln(x+1)-(x+1)\frac{1}{x+1} =2-ln(x+1)-1=1-ln(x+1)$

b)

Monotonia functiei f

f'(x)=0

1-ln(x+1)=0

ln(x+1)=1

x+1=e

x=e-1

Tabel semn

x       -1       e-1        +∞

f'(x)+ + + + + 0 - - - - -

f(x)       ↑     f(e-1)     ↓

Pentru (-1,e-1] f este crescatoare si pe [e-1,+∞) f este descrescatoare

c)

Pentru a studia daca o functie este concava trebuie sa calculam derivata  a doua

$f''(x)=-\frac{1}{x+1} \\\\Pentru\ x\in (-1,+\infty)\\ f''(x) < 0$

f este concava

Un alt exercitiu cu limite gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918934

#BAC2022

#SPJ4