Question

Se consideră funcția $f:(1,+\infty) \rightarrow(0,+\infty), f(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{2}-1}, x \in(1,+\infty)$.

$5 p$ b) Demonstrați că funcția $f$ este bijectivă.

5p c) Calculați $\lim _{x \rightarrow+\infty}(x f(x))$.

Answer 1

$f(x)=\ln (x+1)-\ln (x-1)$

a)

Calculam derivata, folosind tabelul de derivare (vezi atasament)

$f'(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1} =\frac{x-1-x-1}{(x+1)(x-1)}=-\frac{2}{x^2-1}$

b)

O functie este bijectiva daca este surjectiva si injectiva

Studiem monotonia functiei f

$f'(x)=-\frac{2}{x^2-1}$

-2<0

Pentru x∈(1,+∞) , x²-1<0⇒ f'(x)<0⇒f este descrescatoare pe (1,+∞)⇒ f este injectiva

$\lim_{x \to 1} ln(x+1)-ln(x-1)=ln2-ln0=+\infty\\\\ \lim_{x +\to \infty} ln(x+1)-ln(x-1)=\infty-\infty\ forma\ nedeterminata\\\\ \lim_{x +\to \infty} ln(x+1)-ln(x-1)= \lim_{x +\to \infty} ln\frac{x+1}{x-1}=ln( \lim_{x +\to \infty}\frac{x+1}{x-1})=ln1=0$

Cand gradul numaratorului este egal cu gradul numitorului, atunci limita este egala cu raportul coeficientilor gradelor mai mari

f este surjectiva si injectiva⇒ f este bijectiva

c)

$\lim_{x +\to \infty} x(ln(x+1)-ln(x-1))= \lim_{x +\to \infty}xln\frac{x+1}{x-1}= \lim_{x +\to \infty}ln(\frac{x+1}{x-1})^x\\\\ = \lim_{x +\to \infty}ln(1+\frac{2}{x-1})^ x= \lim_{x +\to \infty}ln[(1+\frac{2}{x-1})^ {\frac{x-1}{2} }]^{\frac{2x}{x-1}}=e^{ln2}=2$

Un exercitiu cu functie bijectiva gasesti aici: https://brainly.ro/tema/4629069

#BAC2022