Question

Pe mulțimea $M=(0,+\infty)$ se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y=\frac{x y}{x+y}$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $2 \circ 2=1$.

$5 p$ b) Demonstrați că $x \circ y \circ z=\left(x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}\right)^{-1}$, pentru orice $x, y, z \in M$.

[tex][tex]$5 p$[tex][tex] c) Demonstraţi că [tex]$\frac{1}{2} \circ \frac{1}{3} \circ \frac{1}{4} \circ \ldots \circ \frac{1}{10}=\frac{1}{54}$[tex].

Answer 1

Explicație pas cu pas:

legea de compoziție asociativă:

$x \circ y = \frac{x y}{x+y}$

a)

$2 \circ 2=\frac{2 \times 2 }{2 + 2} = \frac{4}{4} = 1$

b)

legea ○ este asociativă:

$x \circ y \circ z = (x \circ y) \circ z = \frac{(x \circ y) \times z}{(x \circ y) + z}$

$= \frac{\frac{x y}{x+y} \times z}{\frac{x y}{x+y} + z} = \frac{\frac{x yz}{x+y}}{\frac{xy + z(x + y)}{x+y}}$

$= \frac{xyz}{xy + yz + xz} = {\left( \frac{xy + yz + xz}{xyz} \right) }^{ - 1}$

$= {\left( \frac{xy}{xyz} + \frac{yz}{xyz} + \frac{xz}{xyz} \right) }^{ - 1} = {\left( \frac{1}{z} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) }^{ - 1}$

$= {\left( {x}^{ - 1} + {y}^{ - 1} + {z}^{ - 1}\right) }^{ - 1}$

c) din b)

→

$\frac{1}{2} \circ \frac{1}{3} \circ \frac{1}{4} \circ \ldots \circ \frac{1}{10} =$

$= {\left( {\left( \frac{1}{2} \right)}^{ - 1} + {\left( \frac{1}{3} \right)}^{ - 1} + {\left( \frac{1}{4} \right)}^{ - 1} +...+ {\left( \frac{1}{10} \right)}^{ - 1}\right) }^{ - 1}$

$= {\left(2 + 3 + 4 + ... + 10\right) }^{ - 1} = {\left( \frac{10 \times 11}{2} - 1 \right) }^{ - 1}$

$= {54}^{ - 1} = \frac{1}{54}$