Question

Rezolvati in multimea numerelor naturale ecuatia (x+1)*(y+1)=x*y*z

Answer 1

[tex](x+1)(y+1)=xyz <=> xy + x + y + 1 = xyz\\ xy+x+y-xyz=-1\\ xyz-xy-x-y=1\\ xy(z-1)-x-y=1\\ x[y(z-1)-1]-y=1\\\\ I.\: x[y(z-1)-1]=1\:si\:y=0\\ =>x*(-1)=1 => x = -1 \left \{ {{y=0} \atop {x=-1}} \atop {z \in N \right \\\\ II. y = -1\:si\:x[y(z-1)-1]=0\\ => x(-z+1-1) = 0 => -xz = 0 \\ \left \{ {{y=-1} \atop {x=0}} \atop {z \in N \right sau \left \{ {{y=-1} \atop {x \in N}} \atop {z = 0 \right \\\\[/tex]

Acum observ, ca se poate generaliza. Ave diferenta a doua numere care ne da 1. Cand se intampla asta ? Cand sunt 2 numere consecutive iar primul este mai mare cu o unitate decat al doilea. Astfel, putem scrie mai bine si mai corect din punct de vedere matematic ca:

[tex] \left \{ {{x[y(z-1)-1] = n+1} \atop {y=n}} \right. => x[n(z-1)-1]=n+1\\ x(zn-n-1)=n+1\\ x = \frac{n+1}{zn-n-1} \:unde \:x, y, z \in N, \: si\:y>=1 [/tex]

Asta e o forma generalizata a ecuatiei, insa eu am gasit solutii doar cum am scris mai sus, cu x=-1 sau cu y=-1. z nu conteaza ce valoare are, deoarece urmarim ca produsul x*y*z sa fie 0, deci orice valoare naturala ar avea, tot aia ar fi. Succes !

Answer 2

Mai simplu!

1. Daca x = 0 => y =0 si reciproc, z poate fi orice nr. natural!

2. Pp. ca x si y sunt nr. naturale nenule => z = 1 + 1/x + 1/y + 1/(x*y);
pentru ca z sa fie natural, din ratiuni de divizibilitate  => x = 1 si y = 1 => z = 4;

Bafta!