Question

Rezolvați prin două metode sistemul de ecuație: {3x-2=-4 {2x+4y=-8

Answer 1

$\it \begin{cases} \it3x-2y=-4\\\;\\ \it2x+4y=-8 \end{cases}$


I) Metoda reducerii

Se observă că a doua ecuație se poate împărți la 2.

$\it 2x+4y=-8|_{:2} \Longrightarrow x+2y=-4$

Sistemul devine :

[tex]\it \begin{cases} 3x-2y=-4\\\;\\ x+\ 2y=-4 \end{cases} \\ [/tex]

Adunăm algebric cele două ecuații, reducem 2y cu -2y și rezultă:


$\it 4x = -8 \Longrightarrow x = -8:4 \Longrightarrow x = -2$

Înlocuim în a doua ecuație x = -2 și obținem:

[tex]\it 2\cdot(-2) +4y = -8 \Longrightarrow -4+4y=-8 \Longrightarrow 4y = -8+4 \Longrightarrow \\\;\\ \Longrightarrow 4y= -4 \Longrightarrow y = -4:4 \Longrightarrow y = -1[/tex]

Mulțimea soluțiilor este :

$\it S:\begin{cases} x=-2 \\ \\ y=-1 \end{cases}$

II) Metoda substituției

Transformăm a doua ecuație astfel:

$\it 2x+4y=-8|_{:2} \Longrightarrow x+2y=-4 \Longrightarrow x= -4-2y \ \ \ (*)$

Relația (*) este o relație de substituție (înlocuire).

Folosim relația (*) în prima ecuație și rezultă:

3(-4 - 2y) - 2y = -4 ⇔ -12  - 6y - 2y = -4 ⇔ -6y - 2y = -4 +12 ⇔

⇔ -8y = 8 |·(-1) ⇔ 8y = -8 ⇔ y = -8:8 ⇔ y = -1

Acum ne întoarcem la relația (*),  vom înlocui y = -1 și rezultă:

x = -4 - 2·(-1) ⇒ x = -4 +2 ⇒ x = -2

Deci, soluția sistemului este :  x = -2,  y = -1