Question

Sa se demonstreze inegalitatiile:
a)2^n >/ 2n-1 , n>/2;
b)3^n+1 >/ n^4+n^2+1, n>/5
c) 1 + 1/3 + 1/7 +.... + 1/2^n - 1 n, n>/ 1

Answer 1

a)2^n ≥ 2n-1
n=2
P(2)= 2^2 ≥ 2*2-1
=4 ≥ 3 A

n= k fixat
P(k)= 2^k ≥ 2k-1 A

n=k+1
P(k+1)= 2^k+1 (2 la puterea k+1) ≥ 2(k+1)-1
= 2^k+1 ≥ 2k + 1
Stiind ca P(k) este adevarat plecam de la 2^k ≥ 2k-1

2^k ≥ 2k-1 | *2
2*2^k ≥ 2(2k-1)
2^k+1 ≥ 4k-2
4k-2 > 2k+1
2^k+1 ≥ 4k-2 ≥ 2k+1 => 2^k+1 ≥ 2k+1 A

Answer 2

a)2^n>=2n-1 n>=2
I)P(2):2^2>=2*2-1=>4>3
  P(3):2^3>=2*3-1=>8>=5
II)P(k)->P(k+1)
  P(k):2^k>=2k-1 adevarata   
  P(k+1):2^(k+1)>=2k+1=>2^k*2>=2k+1=>2^k>=(2k+1)/2 de domonstrat ca asta sa fie demonstrat => 2k-1>=(2k+1)/2 inmultesti cu 2 =>4k-2>=2k+1=>2k>=3=>k>=3/2 Adevarata=>2^(k+1)>=2k+1 adevarata ∨ n>=2
b)din etapa verificarii =>ca nu se poate asa ceva