Question

Salut !!
Ma poate ajuta cnv ?

Answer 1

Răspuns:

Șirul este convergent dacă și numai dacă

$\forall \epsilon > 0, \exists n_{\epsilon}\in\mathbb{N}$ astfel încât $|a_{n+p}-a_n| < \epsilon, \ \forall n\ge n_{\epsilon}, \ \forall p\in\mathbb{N}^*$

Avem

$|a_{n+p}-a_n|=\left|\dfrac{\cos(n+1)x}{5^{n+1}}+\dfrac{\cos(n+2)x}{5^{n+2}}+\ldots+\dfrac{\cos(n+p)x}{5^{n+p}}\right|\le\\\le\left|\dfrac{\cos(n+1)x}{5^{n+1}}\right|+\left|\dfrac{\cos(n+2)x}{5^{n+2}}\right|\ldots+\left|\dfrac{\cos(n+p)x}{5^{n+p}}\right|\le\\\le\dfrac{1}{5^{n+1}}+\dfrac{1}{5^{n+2}}+\ldots+\dfrac{1}{5^{n+p}}=\dfrac{1}{5^{n+1}}\left(1+\dfrac{1}{5}+\ldots+\dfrac{1}{5^{p-1}}\right)=\\=\dfrac{1}{5^{n+1}}\cdot\dfrac{5}{4}\left(1-\dfrac{1}{5^p}\right) < \dfrac{1}{4\cdot 5^n} < \epsilon$

Rezultă $n > \log_5\left(\dfrac{1}{4\epsilon}\right)$

Atunci alegem $n_{\epsilon}=\left[\log_5\left(\dfrac{1}{4\epsilon}\right)\right]+1$.

Punctul b) se face analog.

Explicație pas cu pas: