Question

Se considera functia  f   :  R  →  R , definita prin  f  ( x ) =  π^x − π^− x .
Studiati daca functia  f   este bijectiva.

a)  f   injectiva pe  R 
b)  f   surjectiva pe  R
c)  f   bijectiva pe  R 
d)  f   injectiva pe (0 , + ∞ )
e)  f   surjectiva pe (0 , + ∞ )
f)  f   bijectiva pe (0 , + ∞ )

Answer 1

 Intai studiem injectivitatea functiei :
Derivata functiei f este:[tex]f'(x)=\pi^{-x}(\pi^{2x}+1)ln\pi>0,\forall x\in R=>f \ strict \ crescatoare \ pe\ R=>\\ =>f \ injectiva \ pe \ R[/tex]
Studiem surjectivitatea:

[tex](\forall)y \in R (\exists)x\in R \ astfel \ incat\ f(x)=y\\ [/tex][tex]\pi^x-\pi^{-x}=y\\ \pi^{x}- \frac{1}{\pi^{x}} =y\\ Notam\ \pi^{x}=t\\ t-\frac{1}{t}=y=>t^2-ty-1=0\\ t_{1/2}= \frac{y\pm\sqrt{y^2+4}}{y}=>\\ \pi^x= \frac{y+\sqrt{y^2+4}}{y}=> logaritmam \ in \ baza \pi\\ x=log_{\pi}\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{y} \in R,\forall y \in R[/tex]
In concluzie, functia este si surjectiva pe R.
In final, functia f este bijectiva pe R.