Question

Se consideră funcţia $f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=2 x^{2}-5 x+\ln x$.

$5 \mathbf{p}$ a) Arătați că $f^{\prime}(x)=\frac{(x-1)(4 x-1)}{x}, x \in(0,+\infty)$.

5p b) Arătați că $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{f(x)}=0$.

$5 \mathbf{p}$ c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul functiei $f$.

Answer 1

$f(x)=2 x^{2}-5 x+\ln x$

a)

Vezi tabelul de derivate in atasament

$f'(x)=4x-5+\frac{1}{x}=\frac{4x^2-5x+1}{x} =\frac{(x-1)(4x-1)}{x}$

b)

$\lim_{x\to+ \infty} \frac{lnx}{2x^2-5x+lnx} =\frac{\infty}{\infty}$

Aplicam L'Hopital, derivam numarator, derivam numitor

$\lim_{x\to+ \infty} \frac{(lnx)'}{(2x^2-5x+lnx)'} =\frac{\frac{1}{x} }{\frac{(x-1)(4x-1)}{x} } =\frac{1}{4x^2-5x+1} =\frac{1}{\infty} =0$

c)

Ecuatia tangentei in punctul A(a,f(a))

y-f(a)=f'(a)(x-a)

In cazul nostru a=1

f(1)=2-5+0=-3

f'(1)=0

Ecuatia tangentei:

y+3=0(x-1)

y=-3

Un alt exercitiu cu limite gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9918990

#BAC2022

#SPJ4