Question

Se consideră sistemul de ecuații $\left\{\begin{array}{c}\left(m^{2}-1\right) x+m y+4 z=1 \\ x+y+z=0 \\ m x+3 y+z=-1\end{array}\right.$, unde $m$ este număr real.

$5 p$ a) Determinați numărul real $m$ pentru care tripletul $(-1,0,1)$ este solutiie a sistemului de ecuații.

$5 p$ b) Determinați mulțimea valorilor reale ale lui $m$pentru care sistemul de ecuații admite soluție unică.

c) Determinați numerele $m \in \mathbb{Z} \backslash\{-7,2\}$, pentru care sistemul de ecuații admite soluția $\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) [tex], cu [tex] x_{0}, y_{0}, z_{0} \in \mathbb{Z}$.

Answer 1

$\left\{\begin{array}{c}\left(m^{2}-1\right) x+m y+4 z=1 \\ x+y+z=0 \\ m x+3 y+z=-1\end{array}\right$

a)

x=-1

y=0

z=1

$\left\{\begin{array}{c}\left-(m^{2}-1\right) +4 =1 \\ -1+0+1=0 \\ -m +1=-1\end{array}\right$

-m+1=-1

m=2

b)

Admite solutie unica daca detA este diferit de zero

$detA=\left|\begin{array}{ccc}m^2-1&m&4\\1&1&1\\m&3&1\end{array}\right|$

               m²-1       m   4

                   1         1     1

detA=(m²-1+12+m²)-(4m+3m²-3+m)=-m²-5m+14

-m²-5m+14≠0

Δ=25+56=81

$m_1=\frac{5+9}{-2} \neq -7\\\\m_2=\frac{5-9}{-2} \neq 2$

m∈R\{-7,2}

c)

Metoda lui Cramer

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}m^2-1&m&4\\1&1&1\\m&3&1\end{array}\right|=-(m+7)(m-2)$

$\Delta_x=\left|\begin{array}{ccc}1&m&4\\0&1&1\\-1&3&1\end{array}\right|$

             1      m   4

             0      1    1

$\Delta_x=(1-m)-(-4+3)=2-m\\\\x=\frac{\Delta_x}{\Delta} =\frac{1}{m+7}$

-am inlocuit coloana coeficientilor lui x cu coloana termenilor liberi

$\Delta_y=\left|\begin{array}{ccc}m^2-1&1&4\\1&0&1\\m&-1&1\end{array}\right|$

             m²-1       1      4

                1          0     1

$\Delta_y=(-4+m)-(-m^2+1+1)=m^2+m-6=(m+3)(m-2)\\\\y=\frac{\Delta_y}{\Delta} =-\frac{m+3}{m+7}$

-am inlocuit coloana coeficientilor lui y cu coloana termenilor liberi

$\Delta_z=\left|\begin{array}{ccc}m^2-1&m&1\\1&1&0\\m&3&-1\end{array}\right|$

            m²-1       m     1

                1          1     0

$\Delta_z=(-m^2+1+3)-(m-m)=4-m^2=(2-m)(2+m)\\\\z=\frac{\Delta_z}{\Delta} =\frac{m+2}{m+7}$

-am inlocuit coloana coeficientilor lui z cu coloana termenilor liberi

x,y si z sunt numere intregi⇒ m+7={-1,1}

m={-8, -6}

Un alt exercitiu cu sisteme de ecuatii cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/933654

#BAC2022

#SPJ4