Question

Se consideră functia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x^{2}+2}$. Pentru fiecare număr natural nenul $n$, se consideră numărul $I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} f(x) d x$.

$5 \mathbf{a}$ a) Arătaţi că $\int_{0}^{3} f^{2}(x) d x=15$.

\begin{tabular}{l|l}
$5 \mathbf{p}$ & b) Demonstrați că $\lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}=0 .$ \\
$5 \mathbf{5}$ & c) Arătați că $(n+2) I_{n}+2(n-1) I_{n-2}=3 \sqrt{3}$, pentru orice număr natural $n, n \geq 3 .$
\end{tabular}

Answer 1

$f(x)=\sqrt{x^{2}+2}$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^3_0 {x^2+2} \, dx =\frac{x^3}{3}|_0^3+2x|_0^3=9+6=15$

b)

$I_n=\int\limits^1_0 {x^n\sqrt{x^2+2} } \, dx \\\\0\leq I_n\leq \int\limits^1_0{x^n\sqrt{3} } \, dx \\\\x\in[0,1]\\\\\int\limits^1_0{x^n\sqrt{3} } \, dx =\sqrt{3} \frac{x^{n+1}}{n+1} |_0^1=\frac{\sqrt{3} }{n+1}$

$\lim_{n \to +\infty} I_n= \lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt{3} }{n+1} =0$

c)

$I_n=\int\limits^1_0 {x^n\sqrt{x^2+2} } \, dx \\\\I_n=\int\limits^1_0 {x^n\frac{x^2+2}{\sqrt{x^2+2} } } \, dx =\int\limits^1_0{x^{n+1}\frac{x}{\sqrt{x^2+2} } } \, dx +2\int\limits^1_0{x^{n-1}\frac{x}{\sqrt{x^2+2} } } \, dx \\\\I_n=\sqrt{3}-(n+1)I_n+2\sqrt{3}-2(n-1)I_{n-2}\\\\ (n+2)I_n+2(n-1)I_{n-2}=3\sqrt{3}$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919077

#BAC2022

#SPJ4