Question

Se consideră funcţia $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$.

5p a) Arătaţi că $\int_{0}^{2} f(x) \sqrt{x^{2}+1} d x=2$.

\begin{tabular}{l|l}
$5 p$ & b) Arătați că $\int_{1}^{2}\left(f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)\right) d x=\sqrt{5}-\sqrt{2}+\ln \frac{2+\sqrt{5}}{1+\sqrt{2}} .$ \\
$5 p$ & c) Determinați $a \in(1,+\infty) [tex] astfel încât [tex] \int_{0}^{x} f\left(e^{t}\right) d t=\ln \left(e^{x}+\sqrt{e^{2 x}+1}\right)+\ln (a-1)$, pentru orice număr real $x .$
\end{tabular}

Answer 1

$f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

a)

Vezi tabelul de integrale din atasament

$\int\limits^2_0 {x} \, dx =\frac{x^2}{2}|_0^2=\frac{4}{2} =2$

b)

$\int\limits^2_1 {\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{\frac{1}{x} }{\sqrt{\frac{1}{x^2}+1 } } } \, dx =\int\limits^2_1 {\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\ dx+\int\limits^2_1 {\frac{\frac{1}{x} }{\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2} } } }\ dx=\sqrt{x^2+1} |_1^2+\int\limits^2_1 {\frac{\frac{1}{x} }{\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2} } } }\ dx$

Luam integrala separat

$\int\limits^2_1 {\frac{\frac{1}{x} }{\sqrt{\frac{1+x^2}{x^2} } } }\ dx=\int\limits^2_1\frac{1}{\sqrt{x^2+1} } \ dx=ln(x+\sqrt{x^2+1})|_1^2=ln(2+\sqrt{5} )-ln(1+\sqrt{2})$

Deci integrala noastra din cerinta va fi egala cu:

$\sqrt{x^2+1} |_1^2+ln(2+\sqrt{5} )-ln(1+\sqrt{2}) =\sqrt{5} -\sqrt{2}+ln\frac{2+\sqrt{5} }{1+\sqrt{2} }$

c)

$\int\limits^x_0 {\frac{e^t}{\sqrt{e^{2t}}+1 } } \, dt=ln(e^t+\sqrt{e^{2t}+1} )|_0^x=ln(e^x+\sqrt{e^{2x}+1}) -ln(1+\sqrt{2}) \\\\ln(e^x+\sqrt{e^{2x}+1}) -ln(1+\sqrt{2}) =ln(e^x+\sqrt{e^{2x}+1}) +ln(a-1)\\\\-ln(1+\sqrt{2})=ln(a-1)\\\\a-1=\frac{1}{1+\sqrt{2} } \\\\a=\frac{1}{1+\sqrt{2} } +1=\frac{1-\sqrt{2} }{-1}+1=\sqrt{2}$

Un alt exercitiu cu integrale gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919133

#BAC2022

#SPJ4